MATERI HASIL KALI SILANG DAN CONTOH SOAL

‘ HASIL KALI SILANG ’

MAKALAH

Oleh

KELOMPOK 5

KETUA : ANGEL ERUMKUY (2017-79-055)

ANGGOTA : WINDY PRAMUDITA (2017-79-024)

BELLA A.P YUNUS (2017-79-002)

ELISABETH BORMASA (2017-79-068)

GILBERT SOUISA (2017-79-015)

FRETERLI HUWAE (2017-79-058)

HARDY Z A BATLAJERY (2017-79-053)

HANS PATIPEILOHY (2017-79-051) (tidak aktif)

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PATTIMURA

AMBON

2018

KATA PENGANTAR 

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas selesainya makalah tentang "Hasil Kali Silang". Makalah ini telah kami susun dengan maksimal dan mendapatkan bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini demi untuk menunjang nilai penulis. Untuk itu kami menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan makalah ini, terlebih khusus kepada bapak Z. A. Leleury, S.Si., M.Si. Terlepas dari semua itu, kami menyadari sepenuhnya bahwa masih makalah kami masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu dengan tangan terbuka kami menerima segala saran dan kritik dari pembaca agar kami dapat memperbaiki makalah ini.Akhir kata kami berharap semoga makalah tentang hasil kali silang ini dapat memberikan manfaat maupun pengetahuan terhadap pembaca.

Ambon, Desember 2018

Kelompok 2

DAFTAR ISI

SAMPUL KATA PENGANTAR ............................................................................................. ii DAFTAR ISI .......................................................................................................... iii
BAB. I. PENDAHULUAN
I.1 Latar belakang .................................................................................................... 1
I.2 Rumusan masalah ............................................................................................... 2
I.3 Tujuan penulisan................................................................................................. 2
I.4 Manfaat penulisan............................................................................................... 2
BAB. II. PEMBAHASAN
II.1 Hasil Kali Silang ............................................................................................... 3
II.2 Penerapan Hasil Kali Silang .............................................................................. 9
BAB. III. PENUTUP
III.1. Kesimpulan ................................................................................................... 10
III. 2. Saran ............................................................................................................ 10
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 11
LAMPIRAN ........................................................................................................... 12

BAB I PENDAHULUAN

I.1 Latar Belakang

Perkalian antara dua vektor tidak seperti perkalian antara dua bilangan real. Perkalian antara dua bilangan real hasil kalinya adalah sebuah bilangan real. Namun hasil kali dua vektor belum tentu demikian. Ada beberapa jenis perkalian vektor dengan notasi dan hasil yang berbeda. Ada perkalian yang menghasilkan skalar yang disebut hasil kali titik (dot product) dan ada perkalian yang menghasilkan vector yang disebut hasil kali silang (cross product).

Hasil kali titik antara dua vector didefinisikan sebagai hasil kali panjang/norma kedua vektor dan cosines sudut antara vektor tersebut. Begitu juga dengan hasil kali silang antara dua vektor didefinisikan sebagai hasil kali panjang/norma kedua vektor dan sinus sudut antara vektor tersebut. Nilai dari hasil kali titik adalah bilangan real dan nilai dari hasil kali silang dapat berupa vektor. Nilai dari hasil kali titik antara dua vektor di 𝑅2 adalah sebagai berikut:

𝒖.𝒗−|𝒖| |𝒗|𝑐𝑜𝑠 𝜽 0° ≤ 𝜃 ≤180°
atau ,
𝒖 .𝒗 = u1v1 + u2v2
dan nilai hasil kali titik di 𝑅3 adalah
𝒖.𝒗−|𝒖| |𝒗|𝑐𝑜𝑠 𝜽 0° ≤ 𝜃 ≤180°
atau ,
𝒖 .𝒗 = u1v1 + u2v2 + u3v3
sementara itu, hasil kali silang vektor di 𝑅3 adalah
𝒖.𝒗−|𝒖| |𝒗|𝑠𝑖𝑛 𝜽
atau
𝒖×𝒗 = u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1

Dengan demikian hasil kali titik dan silang dapat diinterpretasikan secara geometri, hasil kali titik dapat membuktikan rumus trigonometri (cosinus jumlah sudut dan selisih sudut) dan kali titik dan silang dapat dikaitkan dengan determinan.

I.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian latar belakang, maka dalam makalah ini ada 2 (dua) rumusan masalah yang terkaji yakni :

1.Apa yang dimaksud dengan hasil kali silang?

2.Bagaimana cara menerapkan hasil kali silang?

I.3 Tujuan Masalah

Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan yang ingin dicapai dalam penulisan makalah ini adalah sebagai berikut:

1. Untuk dapat mengetahui apa itu hasil kali silang.

2. Untuk dapat mengetahui cara menerapkan hasil kali silang.

I.4 Manfaat Penulisan

Adapun manfaat yang diharapkan dari penulisan makalah ini adalah sebagai berikut:

Pembuatan makalah ini telah memberikan berbagai pengalaman seperti pengalaman untuk mengumpulkan bahan. Disamping itu,penulis juga mendapat ilmu untuk memahami dan menganalisis materi yang ditulis sehingga mendapatkan berbagai pengalaman mengenai teknik penulisan makalah, teknik pengutipan, dan teknik penggabungan materi dari berbagai sumber.

Pembaca akan lebih mengetahui tentang fungsi hasil kali silang pada Geometri dalam ruang, Vektor.

BAB II

PEMBAHASAN

HASIL KALI SILANG

Hasil kali titik dua vektor adalah skalar. Hasil kali silang (hasil kali vektor) memiliki banyak kegunaan. Hasil kali silang 𝒖 𝑥 𝒗 dari u = <u1, u2, u3> dan v = <v1, v2, v3> didefenisikan sebagai

𝒖 𝑥 𝒗 = <u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1>

Hasil kali silang dua vektor adalah sebuah vektor.

Determinan akan sangat membantu untuk menghitung rumus dari hasil kali silang. Pertama, nilai determinan 2 × 2 adalah

|𝑎 𝑏𝑐 𝑑| = 𝑎𝑑– 𝑏𝑐

Maka nilai determinan 3 × 3 ( penguraian menurut baris teratas) adalah

|𝑎1𝑎2𝑎3𝑏1𝑏2𝑏3𝑐1𝑐2𝑐3| =𝑎1|𝑎1𝑎2𝑎3𝑏1𝑏2𝑏3𝑐1𝑐2𝑐3|–𝑎2|𝑎1𝑎2𝑎3𝑏1𝑏2𝑏3𝑐1𝑐2𝑐3|−𝑎3|𝑎1𝑎2𝑎3𝑏1𝑏2𝑏3𝑐1𝑐2𝑐3|

= 𝑎1|𝑏2𝑏3𝑐2𝑐3|−𝑎2|𝑏1𝑏3𝑐1𝑐3|−𝑎3|𝑏1𝑏2𝑐1𝑐2|

Dengan menggunakan determinan-determinan maka dapat dituliskan defenisi u x v sebagai

𝒖 × 𝒗 = |𝒊 𝒋 𝒌𝑢1𝑢2𝑢3𝑣1𝑣2𝑣3| = |𝑢2𝑢3𝑣2𝑣3|𝒊−|𝑢1𝑢3𝑣1𝑣3|𝒋–|𝑢1𝑢2𝑣1𝑣2|𝒌

Komponen vector u masuk kebaris kedua, dan komponen vector kanan v masuk kebaris ketiga. Hal ini penting karena jika menukarkan posisi vector u dan v, maka tukarkan baris kedua dan ketiga dari determinan dan ini akan mengubah tanda nilai determinan sehingga,

𝒖 × 𝒗 = −(𝒖 × 𝒗)

Jadi akan terbentuk hukum antikomutatif.
Contoh 1
Misalkan u = < 1, -2, -1 > dan v = < -2, ,4, 1 >, Hitunglah u x v dan v x u mengunakan defenisi determinan.
Penyelesaian :
𝒖 ×𝒗 = | 𝒊 𝒋 𝒌 1 −2 −1 −2 4 1| = |−2 −1 4 1|𝒊−| 1 −1−2 1|𝒋–| 1 −2−2 4 |𝒌
= 2𝒊+𝒋+0𝒌
𝒖 × 𝒗 = | 𝒊 𝒋 𝒌 −2 4 1 1 −2 −1| = | 4 1−2 −1|𝒊−|−2 1 1 −1|𝒋–| −2 4 1 −2 |𝒌
= −2𝒊−𝒋+0𝒌
Tafsiran Geometri 𝒖×𝒗 seperti hasil kali titik hasil kali silang mendapatkan signifikansi dari tafsiran geometrinya.
Bukti :
Misalkan u = < 1, -2, -1 > dan v = < -2, 4, 1 >,
1. u∘ (𝒖 ×𝒗) = u1(u2v3 – u3v2) + u2(u3v1 – u1v3)+ u3(u1v2 – u2v1). Saat menghilangkan tanda kurung, keenam suku saling menghapuskan dalam pasangan. Hal serupa terjadi pada saat menguraikan u∘ (𝒖 × 𝒗).
2. Arti ketangan kanan untuk rangkap tiga u, v, 𝒖 ×𝒗. θ adalah sudut antara u dan v, dan tangan dikepalkan pada arah pemutaran melalui θ yang membuat u berimpit dengan v. kelihatannya sukar dikembangkan secara analitis bahwa rangkap tiga yang ditunjukkan adalah system tangan kanan. Secara khusus bahwa karena 𝒊×𝒋 = k, rangkap tiga I ∘ j, 𝒊 × 𝒋 adalah system tangan kanan.
3. Kesamaan Lagrange.
Teorema A
Misalkan u dan v vektor–vector dalam ruang dimensi tiga dan θ sudut antara keduanya. Maka:
1. u∘ (𝒖 × 𝒗)= 0 = v ∘ (𝒖 ×𝒗) yakni 𝒖 × 𝒗 tegak lurus terhadap u dan v;
2. u, v, dan 𝒖 × 𝒗 membentuk suatu rangkap tiga system tangan kanan;
3. |𝒖 × 𝒗 | = |𝑢||𝑣| sin θ;
|𝒖 × 𝒗 |2 = |𝑢|2|𝑣|2− (𝒖 × 𝒗)2
|𝒖 ×𝒗 |2 = |𝑢|2|𝑣|2− (|𝑢||𝑣| cos 𝜃)2
= |𝑢|2|𝑣|2(1− 𝑐𝑜𝑠2𝜃)
= |𝑢|2|𝑣|2𝑠𝑖𝑛2𝜃
Oleh karena 0 ≤ 𝜃 ≤ π, sin θ ≥ 0. Jadi mengambil akar kuadrat yang utama menghasilkan
|𝒖 × 𝒗 | = |𝑢||𝑣| sin θ
Dengan memiliki tafsiran geometri untuk 𝒖 ∘ 𝒗 dan 𝒖 × 𝒗 yang berarti bahwa, walaupun mula-mula kedua hasil itu didefenisikan dalam bentuk komponen-komponen yang tergantung pada salah satu pilihan system koordinat, sebenarnya keduanya bebas dari system koordinat. Keduanya adalah besaran-besaran geometri yang interistik sehingga akan memperoleh jawaban yang sama untuk 𝒖 ∘ 𝒗 dan 𝒖 × 𝒗 tidak peduli bagaimanapun perkenalan koordinat untuk menghitungnya.
Berikut adalah akibat sederhana dari Teorema A dan kenyataan bahwa vektor-vektor saling sejajar jika dan hanya jika sudut θ antara mereka adalah 0o dan 180o.
Penerapan
Penerapan pertama adalah mencari persamaan bidang melalui tiga titik yang tidak segaris.
Contoh 2
Cari persamaan bidang (Gambar 2) yang melalui tiga titik P1 (1, -2, 3), P2 (4, 1, -2), P3 (-2, -3, 0).
Penyelesaian:
Andaikan u = P2P1 = < -3, -3, 5 > dan v = P2P3 = < -6, -4, 2 >. Maka,
𝒖 ×𝒗 = |𝒊 𝒋 𝒌 −3 −3 5 −6 4 2| =14𝒊−24𝒋−6𝒌
Bidang yang melalui bidang (4, 1, -2) dengan normal 14𝒊−24𝒋−6𝒌 mempunyai persamaan
14 (x– 4) − 24(y− 1) − 6(z + 2) = 0
14x– 56 − 24y + 24 – 6z− 12 = 0
Teorema B
Dua vector u dan v dalam ruang dimensi tiga adalah sejajar jika dan hanya jika 𝒖 × 𝒗=𝟎.
14x– 24y −6z = 56 − 24 + 12
14x– 24y −6z = 44
Contoh 3
Perlihatkan bahwa luas jajaran genjang dengan a dan b sebagai sisi yang berdampingan adalah |𝒂 × 𝒃 |.
Penyelesaian:
Contoh 4
Misalkan a, b, dan c, vector-vektor yang semuanya tidak terletak pada bidang yang sama. Volume balok genjang yang ditentukan oleh a, b, dan c adalah
V = |𝒂.(𝒃 × 𝒄) | = ||𝑎1𝑎2𝑎3𝑏1𝑏2𝑏3𝑐1𝑐2𝑐3||
Penyelesaian
Jajaran genjang yang ditentukan oleh b dan c sebagai alas balok genjang. Luas alas ini adalah
|𝒃 × 𝒄 |; tinggi balok panjang h adalah nilai mutlak proyeksi scalar dari a pada 𝒃 × 𝒄 . Jadi,
h = |𝑢||cos𝜃| = |𝑢||𝑎.(𝑏 × 𝑐)||𝑢||𝑏 × 𝑐| = |𝑎.(𝑏 × 𝑐)||𝑏 × 𝑐|
dan
V = h|𝑏 × 𝑐| = |𝑎.(𝑏 × 𝑐)|
Bahwa V dapat juga dinyatakan sebagai suatu determinan dikembangkan dengan cara menguraikan |𝑎.(𝑏 × 𝑐)| dalam bentuk komponen-komponen kemudian membandingkannya dengan nilai determinan yang ditunjukkan.
Sifat-sifat aljabar aturan perhitungan dengan hasil kali silang disimpulkan dalam teorema berikut.
cara lain yang dapat membantu dalam menghitung hasil kali silang yang sangat sederhana tetapi penting.
i × 𝐣=𝐤 𝐣×𝐤=𝐢 𝐤×𝐢=𝐣
contoh 5
Hitung u ×𝒗 jika 𝐮=3𝐢−2𝐣+𝐤 dan 𝐯=4𝐢+2𝐣−3𝐤.
Penyelesaian
Cara menyelesaikannya menggunakan hukum distributif dan hukum antikomutatif.
Teorema C
Jika u, v dan w adalah vektor-vektor dalam ruang dimensi tiga dan k skalar
1. u × v = -(v × u) (anti komutatif)
2. u × (v + w) = (u × v) + (u × w)
3. k (u × v) = (ku) ×𝒗=𝒖×(k𝒗)
4. u×0=0×𝒖=0∘𝒖×𝒖=0
5. (u×𝒗) ∘ w = u ∘ (v×𝒘)
6. u ∘ (v×𝒘) = (u∘ w)v-(u∘ v)w
u ×𝒗=(3𝒊−2𝒋+𝒌)×(4𝑖+2𝑗−3𝑘)
= 12(i×𝒊)+6(𝒊×𝒋)−9(𝒊×𝒌)−8(𝒋×𝒊)−4(𝒋×𝒋)+ 6(𝒋 ×𝒌)+ 4(𝒌×𝒊)+ 2(𝒌× 𝒋)− 3(𝒌×𝒌)
= 12(0)+6(𝒌)−9(−𝒋)−8(−𝒌)−4(𝟎)+ 6(𝒊)+ 4(𝒋)+ 2(−𝒊)− 3(𝟎)
= 4i + 13j + 14k
PENERAPAN HASIL KALI SILANG
Hasil kali silang memainkan peranan penting dalam mekanika. Misalkan 𝑂 adalah suatu titik tetap pada sebuah benda dan gaya F diterapkan pada titik lain pada bidang itu, yakni pada titik 𝑃. maka F cenderung memutar benda mengelilingi suatu sumbu yang melalui 𝑂 tegak lurus terhadap bidang 𝑂𝑃 dan F. Vektor 𝜏= 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ×𝑭
Disebut torsi. Torsi ini searah dengan arah sumbu putar dan besarnya adalah |𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝑭| sin𝜃 , yang tepat merupakan momen dari gaya terhadap sumbu putar akibat F.
BAB III
PENUTUP
III.1 Kesimpulan
Dari pembahasan dapat disimpulkan bahwa interpretasi hasil kali titik secara geometri dapat kembangkan melalui kesebangunan segitiga dan sehingga dapat mempermudah untuk mengingat formula cosinus sudut jumlah dan selisih dapat dibuktikan melalui hasil kali titik yaitu dengan melukiskan dua buah vector pada lingkaran unit, serta hasil kali titik dan silang dapat dikaitkan dengan determinan.
Hasil kali titik dua vektor adalah skalar. Hasil kali silang (hasil kali vektor) memiliki banyak kegunaan. Hasil kali silang 𝒖 𝑥 𝒗 dari u = <u1, u2, u3> dan v = <v1, v2, v3> didefenisikan sebagai
𝒖 𝑥 𝒗 = <u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1>
Hasil kali silang dua vektor adalah sebuah vektor.
III.2 Saran
Menyadari bahwa masih jauh dari kata sempurna, kedepannya penulis akan lebih fokus dan teliti dalam menjelaskan tentang makalah hasil kali silang dengan sumber-sumber yang lebih banyak yang tentunya dapat dipertanggungjawabkan.
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
Latihan soal-soal
1. misalkan a = -3i + 2j -2k, b = -i + 2j – 4k, dan c = 7i + 3j – 4k. carilah untuk masing-masing soal berikut.
a) a× b
b) a × ( b + c )
c) a ∘ ( b + c )
d) a × ( b × c )
penyelesaian:
a = -3i + 2j -2k
b = -i + 2j – 4k
c = 7i + 3j – 4k
A. a× b
a× b = |𝒊𝒋𝒌−𝟑𝟐−𝟐−𝟏𝟐−𝟒|= |𝟐−𝟐𝟐−𝟒|𝒊− |−𝟑−𝟐−𝟏−𝟒|𝒋+|−𝟑𝟐−𝟏𝟐|𝒌
= (-8 + 4)i - (12 - 2)j + (-6 + 2)k
= -4i - 10j - 4k
B. a × ( b + c )
(b + c) = (-i + 2j - 4k) + (7i + 3j - 4k) = 6i + 5j -8k
a × ( b + c ) =|𝑖𝑗𝑘−32−265−8|= |2−25−8|𝑖− |−3−26−8|j + |−3265|𝑘
= (-16 + 10)i - (24 + 12)j + (-15 - 12)k
= -6i – 36j - 27k
C. a ∘ ( b + c )
(b + c) = (-i + 2j - 4k) + (7i + 3j - 4k) = 6i + 5j -8k
a ∘ ( b + c ) = (-3i + 2j -2k) ∘ (6i + 5j -8k)
= -3(6) + 2(5) -2(-8)
= -18 + 10 +16
= 8
D. a × ( b × c )
( b × c ) = |𝑖𝑗𝑘−12−473−4|= |2−43−4|𝑖− |−1−47−4|𝑗+ |−1273|𝑘
= (-8 + 12)i - (4 + 28)j + (-3 - 14)k
= 4i - 32j - 17k
a × ( b × c ) = |𝑖𝑗𝑘−32−24−32−17|=|2−2−32−17|𝑖− |−3−24−17|𝑗+ |−324−32|𝑘
= (-34 - 64)i - (51+8)j + (96-8)k
= -98i - 59j +88k
2. jika a = < 3, 3, 1 >, b = < -2, -1, 0 > dan c = < -2, -3, -1 >, carilah untuk masing-masing soal berikut .
a) a× b
b) a × ( b + c )
c) a ∘ ( b × c )
d) a × ( b × c )
penyelesaian :
a = < 3, 3, 1 >
b = < -2, -1, 0 >
c = < -2, -3, -1 >
A. a× b
a× b = |𝒊𝒋𝒌𝟑𝟑𝟏−𝟐−𝟏𝟎|= |𝟑𝟏−𝟏𝟎|i - |𝟑𝟏−𝟐𝟎|𝒋+ |𝟑𝟑−𝟐−𝟏|𝒌
= (0 + 1)i – (0 + 2)j + (-3 + 6)k
= 1i – 2j + 3k
B. a × ( b + c )
(b + c) = (-2, -1, 0) + (-2, -3, -1)
= (-4, -4, -1)
a × ( b + c ) = (3, 3, 1) × (-4, -4, -1)
= |𝒊𝒋𝒌𝟑𝟑𝟏−𝟒−𝟒−𝟏|
= |𝟑𝟏−𝟒−𝟏|𝒊− |𝟑𝟏−𝟒−𝟏|j + |𝟑𝟑−𝟒−𝟒|𝒌
= (-3 + 4)i – (-3 + 4) j + (-12 + 12) k
= 1i – 1j +0k ; (1, -1, 0)
C. a ∘ ( b × c )
( b × c ) = |𝑖𝑗𝑘−2−10−2−3−1|= |−10−3−1|𝑖− |−20−2−1|𝑗+ |−2−1−2−3|𝑘
= (1 - 0)i – (2 - 0)j + (6 - 2)k
=1i - 2j + 4k ; (1, -2, 4)
a ∘ ( b × c ) = (3, 3, 1) ∘ (1, -2, 4)
= 3 (1) + 3(-2) + 1(4)
= 3 – 6 + 4
= 1
D. a × ( b × c )
( b × c ) = |𝑖𝑗𝑘−2−10−2−3−1|= |−10−3−1|𝑖− |−20−2−1|𝑗+ |−2−1−2−3|𝑘
= (1 - 0)i – (2 - 0)j + (6 - 2)k
=1i - 2j + 4k
a × ( b × c ) = |𝑖𝑗𝑘3311−24| = |31−24|𝑖 - |3114|𝑗 + |331−2|𝑘
= (12 + 2)i – (12 - 1)j + (-6 - 3)k
= 14i – 11j -9k ; (14, -11, -9)
3. carilah semua vektor yang tegak lurus trhadap vektor a = i + 2j + 3k dan b = -2i + 2j - 4k.
penyelesaian:
a× b = (i + 2j + 3k) ×(−2i+2j−4k)
= -2(i×i) + 2(i×j) – 4(i×k) – 4(j×i) + 4 (j×j) – 8(j×k) – 6(k×i) + 6(k×j) – 12(k×k)
= -2(0) + 2(k) – 4(-j) – 4(-k) + 4(0) – 8(i) – 6(j) + 6(k) – 2(0)
= 2k + 4j + 4k – 8i – 6j – 6i
= 6k – 2j- 14i
= -14i - 2j + 6k
4. carilah semua vektor yang tegak lurus terhaap vektor a = -2i + 5j – 2k dan b = 3i – 2j + 4k.
5. Carilah vektor satuan yang tegak lurus terhadap bidang yang ditentukan oleh tiga titik (1, 3, 5), (3, -1, 2) dan (4, 0, 1)
Penyelesaian :
Misalkan :
A = (1, 3, 5)
B = (3, -1, 2)
C = (4, 0, 1)
Sehingga, 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = u = < 3-1, -1-3, 2-5> = <2, -4, -3>
𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = v = < 4-1, 0-3, 1-5> = <3, -3, -4>
𝒖 ×𝒗 = |𝒊 𝒋 𝒌 2 −4 5 3 −3 −4| =|−4 5−3 −4|𝒊−|2 5 3 −4|𝒋–| 2 −4 3 −3|𝒌
= (16−9)𝒊−(−8+9)𝒋+(−𝟔+𝟏𝟐)𝒌
= 7𝒊−𝒋+6𝒌
6. Carilah vektor satuan yang tegak lurus terhadap bidang yang ditentukan oleh tiga titik (-1, 3, 0), (5, 1, 2) dan (4, -3, -1)
Penyelesaian
u = < 5+1, 1-3,2-0 > = < 6, -2, 2 >
v = < 4+1, -3-3,-1-0 > = < 5, -6, -1 >
maka
u×v =|𝑖𝑗𝑘6−225−6−1|=|−22−6−1|i −|625−1|j +|6−25−6|k
= ( 2+12)i –(−6−10)𝑗 +(−36+10)𝑘
= <14, 16, -26>
1√196+256+676<14,16,−26>
= 〈7√282,8√282,−13√282〉
7. Carilah luas jajaran genjang dengan a = -i + j - 3k dan b = 4i + 2j - 4k sebagai dua sisi yang berdampingan
8. Carilah luas jajaran genjang dengan a = 2i + 2j - k dan b = -i + j - 4k sebagai dua sisi yang berdampingan
Penyeesaian:
Dik :
a = 2i + 2j – k
b = -i + j – 4k
dit : luas jajaran genjang?
penyelesaian
𝒂 𝒙 𝒃|𝒊𝒋𝒌𝒂𝟏𝒂𝟐𝒂𝟑𝒃𝟏𝒃𝟐𝒃𝟑|
𝒂 𝒙 𝒃|𝒊𝒋𝒌𝟐𝟐−𝟏−𝟏𝟏−𝟒| = |2−11−4|𝑖−𝑗|2−1−1−4|+𝑘|22−11|
= (-8 + 1 ) i – ( -8 – 1 ) j + ( 2 + 2 )k
= -7i + 7j + 4k
||𝑎 𝑥 𝑏||= √49+81+16= √146=12,1
9. Carilah luas seigitiga dengan (3,2,1), (2,4,6), dam (-1,2,5) sebagai titik-titik sudut
10. Carilah luas seigitiga dengan (1,2,3),(3,1,5), dam(4,5,6) sebagai titik-titik sudut
Penyelesaian:
Misalkan :
P1 : (1, 2, 3)
P2 : (3, 1, 5)
P3 : (4, 5, 6)
Andaikan, U = 𝑃2𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = <2, -1, 2>
V = 𝑃2𝑃3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = <-1, -4, -1>
U × V = |𝒊𝒋𝒌𝟐−𝟏𝟐−𝟏−𝟒−𝟏| = |−𝟏𝟐−𝟒−𝟏|𝒊 – |𝟐𝟐−𝟏−𝟏|𝒋+ |𝟐−𝟏−𝟏−𝟒|𝒌
= (1 + 8)i – (-2 + 2)j + (-8 - 1)k
= 9i – 9k ; (9, 0, -9)
Luas segitiga = 12 |U × 𝐕 | = 12 √81+81= 9√22𝑠
11. Cari persamaan bidang yang melalui (1,3,2),(0,3,0) dan (2,4,3)
Penyelesaian :
P1 : (1, 3, 2)
P2 : (0, 3, 0)
P3 : (2, 4, 3)
Andaikan, U = 𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = <1, 0, 2>
V = 𝑃2𝑃3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = <-2, -1, -3>
U × V = |𝒊𝒋𝒌𝟏𝟎𝟐−𝟐−𝟏−𝟑| = |𝟎𝟐−𝟏−𝟑|𝒊 – |𝟏𝟐−𝟐−𝟑|𝒋+ |𝟏𝟎−𝟐−𝟏|𝒌
= 2i – j – k
Bidang yang melalui (0,3,0) dengan normal 2i – j – k memiliki persamaan
2(x - 0) – 1 (y - 3) – 1(z - 0) = 0 atau 2x – y – z = 0
12. Cari persamaan bidang yang melalui (1,1,2),(0,0,1) dan (-2, -3, 0)
13. Cari persamaan bidang yang melalui (-1,-2,3) dan tegak lurus terhadap dua bidang 𝑥−3𝑦+2𝑧=7 dan 2𝑥−27−𝑧= −3.
Penyelesaian :
Vektor normal
x– 3y + 2z = 7
2x – 2y – z = –3
n1 = (1,−2,2)
n2 = (2,−1,−1)
Misalkan n3 = (a,b,c)
Sehingga,
n1 × n3 = 0
(1,−2,2)× (a,b,c)=0
(𝑎,−3𝑏,2𝑐) = 0
(𝑎−3𝑏+2𝑐) = 0 ...... (1)
n2 × n3 = 0
(2,−1,−1)× (a,b,c)=0
(2𝑎,−2𝑏,−𝑐) = 0
(2𝑎−2𝑏−𝑐) = 0 ...... (2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
𝑎−3𝑏+2𝑐 = 0 ×2 2𝑎−6𝑏+4𝑐 = 0
2𝑎−2𝑏−𝑐 = 0 ×1 2𝑎−2𝑏−𝑐 = 0
−4𝑏+5𝑐=0
−4𝑏=0
𝑏= 5𝑐4
Subtitusi nilai b ke persamaan (1)
𝑎−3𝑏+2𝑐 = 0
𝑎−3(5𝑐4)+2𝑐 = 0
𝑎−15𝑐4+2𝑐 = 0
𝑎−15𝑐4+2𝑐 = 0
𝑎 = 15𝑐4−2𝑐
𝑎 = 15𝑐4−8𝑐4
𝑎 = 7𝑐4
Untuk c = 4
𝑏= 5𝑐4
𝑏= 5(4)4
𝑏= 5
𝑎 = 7𝑐4
𝑎 = 7(4)4
𝑎 = 7
Sehingga, n = (7, 5, 4)
Persamaan yang terbentuk 7x – 5y – 4z = d
Karena, bidang melalui titik (−1,−2,3) maka 7(−1)– 5(−2)– 4(3)+𝑑=0
−7+(−2)–(12)+𝑑=0
−5+𝑑=0
𝑑=5
Jadi, persamaan yang terbentuk adalah 7x – 5y – 4z = 5
14. Cari persamaan bidang yang melalui (2,-3,2) dan sejajar bidang vektor-vektor 4i + 3j – k dan 2i – 5j + 6k.
Penyelesaian :
( 4i + 3j - k) × ( 2i - 5j + 6k) = 13i − 26j − 26k
= 13 (i – 2j – 2k)
1 ( x – 2) – 2 ( y+3)−2 ( 𝑧−2)=0
𝑥−2−2𝑦−6−2𝑧+4= 0
𝑥−2𝑦−2𝑧−2−6+4= 0
𝑥−2𝑦−2𝑧=4
15. Cari persamaan bidang yang melalui (6,2,-1) dan tegak lurus pada garis potong bidang 4𝑥−3+2𝑧+5=0 dan 3𝑥+2𝑦−𝑧+11=0.
16. Misalkan a dan b vektor-vektor tidak nol dengan titik pangkal sama dan c vektor tidak nol sembarang. Perlihatkan bahwa (a × b) × c adalah sebuah vektor yang sejajar bidang a dan b.
Penyelesaian:
a × b tegak lurus terhadap bidang a × b, maka a × b tegak lurus terhadap a dan b ( a × b ) × c tegak lurus terhadap a × b. maka bidang tersebut sejajar dengan bidang a dan b.
17. Carilah volume balok genjang dengan sisi <2,3,4>, <0, 4,-1> dan <5,1,3>
Penyelesaian:
V= |𝑎.(𝑏×𝑐)|=I|23404−1513|I
=|2(12+1)−3(0+5)+4(0−20)|
=|26−15−80|
=(−69)
=69
18. Carilah volume balok genjang dengan sisi Carilah volume balok genjang dengan sisi 3i – 4j + 2k, -i + 2j + k, dan 3i – 2j + 5k.
Penyelesaian :
V = |𝐚 ∘ ( 𝐛 × 𝐜 )|
( 𝐛 × 𝐜 )= |𝑖𝑗𝑘−1213−25|= |21−25|𝑖− |−1135|𝑗+ |−123−2|𝑘
= (10 + 2)i – (-5 - 3)j + (2 - 6)k
= 12i + 8j - 4k
V = |𝐚 ∘ ( 𝐛 × 𝐜 )|=|(3𝑖−4𝑗+2𝑘) ∘(12i + 8j – 4k)|
= |3(12)−4(8)+2(−4)|
= |36−32−8|
= |−4|
= 4
19. Misalkan 𝐾 adalah balok genjang yang ditentukan oleh u = <3,2,1>, v = <1,1,2>, dan w = <1,3,3>.
a) Carilah volume 𝐾
b) Carilah luas permukaan yang ditentukan oleh u dan v
c) Carilah sudut antara u dan bidang yang mengandung permukaan yang ditentukan oleh v dan w.
20. Perlihatkan bahwa jika a, b, c dan d semuanya terletak sebidang, maka
(a × b) × ( c × d ) = 0
21. Volume tetrahedron diketahui sebagai 13 ( lua alas ) ( tinggi ). Dari ini, perlihatkan bahwa volume tetrahedron dengan sisi-sisi a, b, dan c adalah 16 |𝐚 .(𝐛 ×𝐜) |.
Penyelesaian: volume tetrahedron yaitu ⅓ × luas alas × tinggi.
Diberikan b dan c menentukan dasar (tringular) tetrahedron. Kemudian luas dasarnya 12‖𝑏.𝑐‖ yang setengah dari luas parralelogram ditentukan oleh b dan c. Ini, 13(luas alas)(tinggi) = 13 [ 12 (luas dari jajargenjang )(tinggi) ] = 16 |𝑎.(𝑏.𝑐)|.
22. Carilah volume tetrahedron dengan titik-titik sudut (-1,2,3),(4,-1,2), (5,6,3), dan (1,1,-2)
Penyelesaian :
a = <−1,2,3> = <5,−3,−1>
b = <4,−1,2> = <6,4,0>
c = <1+1,1−2,−2−3> = <2,−1,−5>
Volume = 16 |𝑎 (𝑏𝑐)|
= 16 |<5,−3,−1> <−20,30,−14>|
= 16|−176|
= 883
23. Buktikan kesamaan Lagrange
|𝒖×𝒗|2=|𝑢|2|𝑣|2−(𝒖∘𝒗)
Lakukan ini tanpa menggunakan Teorema A.
24. Buktikan hukum distributif kiri
𝒖×(𝒗+𝒘)=(𝒖×𝒗)+(𝒖×𝒘)
Penyelesaian:
mis : 𝑢=(𝑢1,𝑢2,𝑢3),𝑣=(𝑣1,𝑣2,𝑣3),𝑤=(𝑤1,𝑤2,𝑤3)
maka,
u ×( v + w ) = [(𝒖𝟐𝒗𝟑−𝒖𝟑𝒗𝟐)+(𝒖𝟐𝒘𝟑+𝒖𝟑𝒘𝟐),(𝒖𝟑𝒗𝟏−𝒖𝟏𝒗𝟑)+(𝒖𝟑𝒘𝟏−𝒖𝟏𝒘𝟑),(𝒖𝟏𝒗𝟐−𝒖𝟐𝒗𝟏)+(𝒖𝟏𝒘𝟐−𝒖𝟐𝒘𝟏)]
= ( u × v ) + ( w × u ).
25. Gunakan soal 24 dan hukum antikomutatif untuk membuktikan hukum distributif kanan.
Penyelesain: (𝑣+𝑤)×𝑢=−(𝑢×(𝑣+𝑤)) 𝐻𝑢𝑘𝑢𝑚 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑘𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑓 =−((𝑢×𝑣)+(𝑢×𝑤)) =−(𝑢×𝑣)+(−(𝑢×𝑤)) =(𝑣×𝑢)+(𝑤×𝑢)
26. Jika 𝒖×𝒗=0 dan 𝒖∘𝒗=0, apa yang dapat anda simpulkan tentang u atau v?
Penyelesaian :
𝒖×𝒗=0 dan 𝒖∘𝒗=0, jika dua buah vector saling tegak lurus, maka hasil kali titiknya sama dengan nol, sebaliknya jika hasil kali titik dari dua vector yang bukan vector nol sama dengan nol. Jika dua buah vector saling sejajar, maka hasil kali silangnya sama dengan nol, sebaliknya jika hasil kali silang dari dua vector yang bukan nol sama dengan nol.
27. Gunakan Contoh 3 untuk mengembangkan suatu rumus untuk luas segitiga yang titik-titik sudutny adalah P(a,0,0), Q(0,b,0), dan R(0,0,c) yang diperlihatkan pada setengah bagian atas Gambar 6.
28. Perlihatkan bahwa segitiga pada bidang yang titik-titik sudutnya (𝑥1,𝑦1),(𝑥2,𝑦2), dan (𝑥3,𝑦3) memiliki luas yang sama dengan setengah nilai mutlak determinan
|𝑥1𝑦11𝑥2𝑦21𝑥3𝑦31|
29. (Teorema Pythagoras dalam Ruang Dimensi Tiga) sebagaimana terlihat pada Gambar 6, misalkan P,Q,R,O sebagai titik-titik sudut suatu tetrahedron (siku-siku) dan misalkan
A,B,C,dan D masing-masing adalah luas bidang-bidang yang terletak berhadapan. Perlihatkan bahwa 𝐴2+𝐵2+𝐶2=𝐷2
Penyelesaian :
L = 12𝑎.𝑡
A = 12(OQ).(OR)
B = 12(OP).(OR)
C = 12(OQ).(OP)
30. Misalkan vektor-vektor a, b, dan c dengan titik pangkal sekutu membentuk sebuah tetrahedron dan m, n, p, dan q adalah vektor-vektor yang tegak lurus terhadap keempat bidangnya,mengarah ke luar dan panjangnya sama dengan luas bidang yang berpadanan. Perlihatkan bahwa m + n + p + q = 0
Penyelesaian :
Perhatikan luas yang ditentukan oleh a dan b adalah 12‖𝑎𝑏‖
m = 12(𝑎𝑏)
n = 12 (𝑏𝑐)
p = 12 (𝑐𝑎)
Empat bidang ditentukan oleh
𝑎−𝑐 dan 𝑏−𝑐 jadi
q = 12[(𝑏−𝑐)(𝑎−𝑐)]
A
C
B
D
= 12[(𝑏𝑎)−(𝑏𝑐)−(𝑐𝑎)+(𝑐𝑐)]
= 12[−(𝑎𝑏)−(𝑏𝑐)−(𝑐𝑎)]
m + n + p + q = 12 [(𝑎𝑏)+ (𝑏𝑐)+ (𝑐𝑎)−(𝑎𝑏)−(𝑏𝑐)−(𝑎𝑐)] = 0
31. Misalkan a,b dan a-b adalah ketiga sisi suatu segitiga yang panjangnya masing-masing adalah a, b, dan c. gunakan Kesamaan Lagrange beserta rumus 2 a·b = |𝒂|𝟐+|𝒃|𝟐−|𝒂−𝒃|𝟐 untuk membuktikan Rumus Heron untuk luas segitiga A, yaitu
𝐴=√𝑠(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐)
Dengan s adalah setengah keliling (a+b+c)/2.
32. Gunakan metode pada Contoh 5 untuk membuktikan secara langsung bahwa jika 𝒖= 𝑢1𝒊+𝑢2𝐣+𝑢3𝐤 dan 𝒗=𝑣1 𝐢+𝑣2𝐣+𝑣3𝐤,maka 𝐮×𝐯=(𝑢2𝑣3−𝑢3𝑣2)𝐢+(𝑢3𝑣1−𝑢1𝑣3)𝐣+(𝑢1𝑣2−𝑢2𝑣1)𝐤
Penyelesain:
U × v = (𝑢1𝑖+𝑢2𝑗+𝑢3𝑘) × (𝑣1𝑖+𝑣2𝑗+𝑣3𝑘)
= (𝑢1𝑣1)(𝑖 𝑥 𝑖)+(𝑢1𝑣2)(𝑖 𝑥 𝑗)+(𝑢1𝑣3)(𝑖 𝑥 𝑘)+(𝑢2𝑣1)(𝑗 𝑥 𝑖)+(𝑢2𝑣2)(𝑗 𝑥 𝑗)+(𝑢2𝑣3)(𝑗 𝑥 𝑘)+(𝑢3𝑣1)(𝑘 𝑥 𝑖)+(𝑢3𝑣2)(𝑘 𝑥 𝑗)+(𝑢3𝑣3)(𝑘 𝑥 𝑘)
= (𝑢1𝑣1)(0)+(𝑢1𝑣2)(𝑘)+(𝑢1𝑣3)(−𝑗)+(𝑢2𝑣1)(−𝑘)+(𝑢2𝑣2)(0)+(𝑢2𝑣3)(𝑖)+(𝑢3𝑣1)(𝑗)+(𝑢3𝑣2)(−𝑖)+(𝑢3𝑣3)(0)
=(𝑢2𝑣3−𝑢3𝑣2)𝑖+(𝑢3𝑣1−𝑢1𝑣3)𝑗+(𝑢1𝑣2−𝑢2𝑣1)𝑘